Биномиальная теорема

---

Теорема. Имеет место равенство

(4)

Доказательство. Перемножим последовательно (a+b) n раз. Получим сумму 2_n слагаемых вида d₁d₂...d_n, где d_i (i=1,…,n) равно либо a, либо b. Разобьем все слагаемые на n+1 группу B₀,B₁,…,B_n, относя к группе B_k все те произведения, в которых b встречается множителем k раз, а a — n–k раз. Число элементов в B_k очевидно равно (таким числом способов среди n произведений d₁d₂...d_n можно выбрать k сомножителей, равных b), а каждый элемент в B_k равен . Отсюда и получаем формулу (4).